Système - D'après bac S, 2015, Amérique du Nord - Corrigé

Énoncé
On considère la matrice  \(M=\begin{pmatrix} 1&1&1\\1&-1&1\\4&2&1 \end{pmatrix}\)

Partie A

1. Calculer les matrices  \(M^2\)  et  \(M^3\) .

2. Vérifier que  \(M^3=M^2+8M+6I_3\) .

3. En déduire que  \(M\)  est inversible et que  \(M^{-1}=\dfrac{1}{6}(M^2-M-8I_3)\) .

Partie B

On cherche à déterminer trois nombres entiers tels que la parabole d'équation  \(y=ax²+bx+c\)  passe par les points  \(A(1;1), B(-1; -1)\)  et  \(C(2; 5)\) .

1. Démontrer que le problème revient à chercher trois entiers  \(a, b\)  et  \(c\)  tels que  \(M\begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\-1\\5 \end{pmatrix}\) .

2. Calculer les nombres  \(a, b\)  et  \(c\) et vérifier que ces nombres sont des entiers.

Solution 

Partie A

1.  \(M^2=\begin{pmatrix} 6&2&3\\4&4&1\\10&4&7 \end{pmatrix}\) et  \(M^3=\begin{pmatrix} 20&10&11\\12&2&9\\42&20&21 \end{pmatrix}\) .

2. La vérification est immédiate.

3. On a donc  \(M^3-M^2-8M=6I_3\) .
D'où  \(M(M^2-M-8I_3)=6I_3\) .
On en déduit directement que  \(M\)  est inversible et  \(M^{-1}=\dfrac{1}{6}(M^2-M-8I_3)\) .

Partie B

1.  \(A\)  appartient à la parabole, donc  \(a+b+c=1\) .
\(B\)  appartient à la parabole donc  \(a-b+c=-1\) .
\(C\)  appartient à la parabole donc  \(4a+2b+c=5\) .
On obtient un système qui peut s'écrire sous forme matricielle  \(M\begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\-1\\5 \end{pmatrix}\) .

2. On résout ce système  \(\begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix}=M^{-1}\begin{pmatrix} 1\\-1\\5 \end{pmatrix}\) \(\begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\-1\\5 \end{pmatrix}\)  avec la partie A.

\(M^{-1}=\dfrac{1}{6}(M^2-M-8I_3)\)  donne  \(M^{-1}=\dfrac{1}{6}\begin{pmatrix} -3&1&2\\3&-3&0\\6&2&-2 \end{pmatrix}\) .
Puis  \(\begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\1\\-1 \end{pmatrix}\) .
On a donc : `a=1, b=1`  et `c=-1` . Ce sont bien des entiers.